Bräda över ett dike

Utbredd last Q

 

 

Vi skall titta på ett verkligt problem.

En person skall försöka ta sig över ett dike som är 2 meter brett. Naturligtvis kan de flesta personer hoppa över diket, men vi skall för säkerhets skull lägga en bräda tvärs över.

 

I vårt brädförråd finns en bräda som har tvärsnittsdimensionen 22x145 mm. Den är tillräckligt lång och kommer att fungera som en bro.

 

 

 

Brädan kan placeras stående eller liggande. Stående så blir det till att balansera (dock blir brädan starkare) och liggande som på bilden (lätt att gå på brädan, men brädan tål lägre belastning)

 

Brädan kommer att användas av en någon som väger 80 kg. Vi skall undersöka vad som händer när denne någon kryper över brädan.

 

Tidigare har vi räknat på ovanstående bräda med en person som står mitt på brädan, detta blir i hållfasthetsläran något som kallas PUNKTLAST, F

När man kryper så skulle man i hållfasthetsläran kalla det för UTBREDD LAST. För att skilja utbredd last från punktlast har man bestämt att kalla den utbredda lasten för, Q.

Både F och Q avser last i N (Newton).

 

Punktlast och Utbredd last.

Formelsamling:

 

 

Man kan räkna spänning på en bräda. Det gäller att använda formeln här t.vänster. Den avviker från den vanliga drag/tryck-formeln. I täljaren står ett M och i nämnaren ett W. Båda är ganska enkla att ta fram, men kräver tillgång till en formelsamling, dvs det är inget som man behöver kunna utantill.

 

 

Vi börjar med formeln för W (böjmotstånd). Böjmotstånd är ett mått på hur ett tvärsnitt gör motstånd när det utsätts för böjning. Ett större värde innebär starkare och mer motstånd.

 

 

 

Böjmotstånd för vår bräda. Den ligger på lågkant, dvs. i formeln enligt ovan får vi följande siffror:

 

W = B*H2/6 = 145*222 / 6= 11 696 mm3

Normalt orkar man inte räkna ut dessa värden, utan plockar dem från färdiga tabeller.

Allt finns att hämta färdiguträknat här

 

(om vi här också räknar en bräda på högkant får vi 22*1452 / 6 = 77 091 mm3)

 

Nu är böjmotståndet klart. Återstår M (böjande moment).

Även här måste vi ta hjälp av en formelsamling och använder då s.k. elementarfall. Ut

 

 

 

Elementarfall V

 

Gäller vid utbredd last.

 

Farligast blir momentet på brädans mitt

 

Ovan stående figur visar vår bräda med en liggande person över hela brädan. Man brukar visa detta som en massa kraftpilar över hela balken (vår bräda)

Det gäller nu att hitta ett elementarfall som liknar vår situation.

Med lite fantasi bör fall nr 5 (V) .  Lite otydligt i figuren kan man läsa att det största momentet som belastar vår bräda blir M=Q*L / 8

 

M=Q*L / 8

 

 

Diagrammet ovan visar att momentet på den mest belastade delen är M=Q*L / 8

Nu är det dags att avsluta genom att stoppa in siffror.

 

M= 800*2000 / 8= 200 000 Nmm = 2 * 105 Nmm

 

 

Insatt i ovanstående formel ovan erhålles: σ = 200 000 / 11 696 = 17,1 N/mm2.

 

 

Vi får alltså en böjspänning på ca 17 N/mm2 och frågan är om detta är farligt. Nu måste vi titta på Svensk Byggnorm (SBN) och gränsvärden för trä vid olika typer av belastningar.

OBS! 1 MPa = 1 N/mm2

 

 

 

Vanligt virke, s.k. Ö-virke klarar vid böjning på lågkant maximalt 5 N/mm2. Vi har ett betydligt högre värde vilket inte fungerar.

 

Slutsats: Brädan går av eller kanske mer verkligt, den låter och du blir rädd.

 

Vad kan vi göra ?

 

Ställa brädan på högkant. Då kommer värdet på W att bytas från 11 696 till 77 091 mm3. Värdet på W ökar 6,6 ggr. Vilket också innebär att brädan också blir 6,6 ggr starkare. Spänningen minskar därför enligt 17/6,6 till 2,6 N/mm2

 

Med korrekta formel : σ = 200 000 / 77 091 = 2,6 N/mm2.

 

Betydligt bättre eftersom en bräda på högkant kan belastas upp till spänningen 6 N/mm2 enligt tabellen ovan

 

Det blir dock betydligt svårare att ligga på brädan när den står på högkant.