Bräda över ett dike

 

 

Vi skall titta på ett verkligt problem.

En person skall försöka ta sig över ett dike som är 2 meter brett. Naturligtvis kan de flesta personer hoppa över diket, men vi skall för säkerhets skull lägga en bräda tvärs över.

 

I vårt brädförråd finns en bräda som har tvärsnittsdimensionen 22x145 mm. Den är tillräckligt lång och kommer att fungera som en bro.

 

 

 

Brädan kan placeras stående eller liggande. Stående så blir det till att balansera (dock blir brädan starkare) och liggande som på bilden (lätt att gå på brädan, men brädan tål lägre belastning)

 

Brädan kommer att användas av en tjej som väger 50 kg. Vi skall undersöka vad som händer när tjejen står mitt på brädan.

 

 

Formelsamling:

 

 

 

Man kan räkna spänning på en bräda. Det gäller att använda formeln enligt ovan. Den avviker från den vanliga drag/tryck-formeln. I täljaren står ett M och i nämnaren ett W. Båda är ganska enkla att ta fram, men kräver tillgång till en formelsamling, dvs det är inget som man behöver kunna utantill.

 

Vi börjar med formeln för W (böjmotstånd). Böjmotstånd är ett mått på hur ett tvärsnitt gör motstånd när det utsätts för böjning. Ett större värde innebär starkare och mer motstånd.

 

 

 

Böjmotstånd för vår bräda. Den ligger på lågkant, dvs. i formeln enligt ovan får vi följande siffror:

 

W = B*H2/6 = 145*222 / 6= 11 696 mm3

 

(om vi här också räknar en bräda på högkant får vi 22*1452 / 6 = 77 091 mm3)

 

Nu är böjmotståndet klart. Återstår M (böjande moment).

Även här måste vi ta hjälp av en formelsamling och använder då s.k. elementarfall.

 

 

 

 

 

Ovan stående figur visar vår bräda med tjejen mitt på brädan.

Det gäller nu att hitta ett elementarfall som liknar vår situation.

Med lite fantasi bör fall nr 4 och där specialfallet gå att använda.  Ett litet krux finns dock här. Det finns ett uttryck som säger att för specialfallet gäller att
α = β = ½ Detta uttryck innebär att halva längden ligger på vardera sidan om kraften. Dvs. belastningen är mitt på brädan.

 

 

 


Diagrammet ovan visar att momentet på den mest belastade delen, dvs. rakt under kraften F,  är
M= F*L*α*β

 

Nu är det dags att avsluta genom att stoppa in siffror.

 

M= 500*2000*½*½ = 250 000 Nmm

 

 

Insatt i ovanstående formel ovan erhålles: σ = 250 000 / 11 696 = 21,4 N/mm2.

 

 

Vi får alltså en böjspänning på ca 21 N/mm2 och frågan är om detta är farligt. Nu måste vi titta på Svensk Byggnorm (SBN) och gränsvärden för trä vid olika typer av belastningar.

OBS! 1 MPa = 1 N/mm2

 

 

 

Vanligt virke, s.k. Ö-virke klarar vid böjning på lågkant maximalt 5 N/mm2. Vi har ett betydligt högre värde vilket inte fungerar.

 

Slutsats: Brädan går av

 

Vad kan vi göra ?

 

Ställa brädan på högkant. Då kommer värdet på W att bytas från 11 696 till 77 091 mm3.

σ = 250 000 / 77 091 = 3,24 N/mm2.

Betydligt bättre eftersom en bräda på högkant kan belastas upp till spänningen 6 N/mm2.

 

Det blir dock betydligt svårare att gå på brädan när den ligger på högkant.

Naturligtvis kan man välja en tjockare bräda, ex. 45x145 mm (kallas då regel). Utan att redovisa beräkningen så blir spänningen då strax över 5, vilket nästan är OK, välj 45x145 mm